斐波那契数列

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斐波那契数列,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义:F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2,n∈N*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用,为此,美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志,用于专门刊载这方面的研究成果。
中文名
斐波那契数列
外文名
Fibonacci Sequence
别 名
黄金分割数列
所属学科
数论

定义 编辑

斐波那契数列指的是这样一个数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368
自然中的斐波那契数列 自然中的斐波那契数列
特别指出:第0项是0,第1项是第一个1。
这个数列从第2项开始,每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的发明者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci),生于公元1170年,卒于1250年,籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年,他撰写了《算盘全书》(Liber Abacci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里普罗旺斯等地研究数学。

通项公式 编辑

递推公式

斐波那契数列:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...[1]
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N*),那么这句话可以写成如下形式:[1]
显然这是一个线性递推数列。[1]

通项公式

(如上,又称为“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例。)
注:此时

通项公式推导

方法一:利用特征方程(线性代数解法)
线性递推数列特征方程为:
  

  解得
  
.
  则

  ∵

  ∴
 
  解得

  
方法二:待定系数法构造等比数列1(初等代数解法)
设常数
.
使得
时,有
应惜艳阳年晋江
……
联立以上n-2个式子,得:
应惜艳阳年晋江
上式可化简得:
应惜艳阳年晋江
那么
应惜艳阳年晋江
……
应惜艳阳年晋江
(这是一个以
为首项、以
为末项、
为公比的等比数列的各项的和)。
的解为
方法三:待定系数法构造等比数列2(初等代数解法)
已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式
解 :设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))。
得α+β=1。
αβ=-1。
构造方程x^2-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2。
所以。
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。
由式1,式2,可得。
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
方法四:母函数法。
对于斐波那契数列{a(n)},有a(1)=a(2)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>2时)
令S(x)=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n+……。
那么有S(x)*(1-x-x^2)=a(1)x+[a(2)-a(1)]x^2+……+[a(n)-a(n-1)-a(n-2)]x^n+……=x
.因此S(x)=x/(1-x-x^2).
不难证明1-x-x^2=-[x+(1+√5)/2][x+(1-√5)/2]=[1-(1-√5)/2*x][1-(1+√5)/2*x].
因此S(x)=(1/√5)*{x/[1-(1+√5)/2*x]-x/[1-(1-√5)/2*x]}.
再利用展开式1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……+x^n+……
于是就可以得S(x)=b(1)x+b(2)x^2+……+b(n)x^n+……
其中b(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}.
因此可以得到a(n)=b(n)==(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

与黄金分割 编辑

关系

有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时,前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618.(或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618)
1÷1=1,1÷2=0.5,2÷3=0.666...,3÷5=0.6,5÷8=0.625,…………,55÷89=0.617977…,…………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...
越到后面,这些比值越接近黄金比.

证明

a[n+2]=a[n+1]+a[n]。
两边同时除以a[n+1]得到:
a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。
若a[n+1]/a[n]的极限存在,设其极限为x,
则lim[n->;;∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->;;∞](a[n+1]/a[n])=x。
所以x=1+1/x。
即x²=x+1。
所以极限是黄金分割比..

特性 编辑

平方与前后项

从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积少1,每个偶数项的平方都比前后两项之积多1。
如:第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1,第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。
(注:奇数项和偶数项是指项数的奇偶,而并不是指数列的数字本身的奇偶,比如从数列第二项1开始数,第4项5是奇数,但它是偶数项,如果认为5是奇数项,那就误解题意,怎么都说不通)
证明经计算可得:[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)

与集合子集

斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数子集个数。

奇数项求和

偶数项求和

    平方求和

    隔项关系

    f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]

    两倍项关系

    f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)

    其他公式

    应用 编辑

    生活斐波那契

    斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数(典型的有向日葵花瓣),蜂巢,蜻蜓翅膀,超越数e(可以推出更多),黄金矩形、黄金分割、等角螺线,十二平均律等。
    斐波那契数与植物花瓣
    3………………………百合和蝴蝶花
    5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花
    8………………………翠雀花
    13………………………金盏和玫瑰
    21………………………紫宛
    34、55、89……………雏菊
    斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如,在树木的枝干上选一片叶子,记其为数0,然后依序点数叶子(假定没有折损),直到到达与那些叶子正对的位置,则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序(源自希腊词,意即叶子的排列)比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

    黄金分割

    随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887..…

    杨辉三角

    杨辉三角左对齐,成如图所示排列,将同一斜行的数加起来,即得一数列1、1、2、3、5、8、……
    公式表示如下:
    f⑴=C(0,0)=1。
    f⑵=C(1,0)=1。
    f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。
    f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。
    f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。
    f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。
    F⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。
    ……
    F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)

    质数数量

    斐波那契数列的整除性与素数生成性
    每3个连续的数中有且只有一个被2整除,
    每4个连续的数中有且只有一个被3整除,
    每5个连续的数中有且只有一个被5整除,
    每6个连续的数中有且只有一个被8整除,
    每7个连续的数中有且只有一个被13整除,
    每8个连续的数中有且只有一个被21整除,
    每9个连续的数中有且只有一个被34整除,
    .......
    我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数:5,13,89,233,1597,28657(第19位不是)
    斐波那契数列的素数无限多吗?

    尾数循环

    斐波那契数列的个位数:一个60步的循环
    11235,83145,94370,77415,61785.38190,
    99875,27965,16730,33695,49325,72910…
    进一步,斐波那契数列的最后两位数是一个300步的循环,最后三位数是一个1500步的循环,最后四位数是一个15000步的循环,最后五位数是一个150000步的循环。[1]

    自然界中巧合

    斐波那契数列在自然科学的其他分支,有许多应用。例如,树木的生长,由于新生的枝条,往往需要一段“休息”时间,供自身生长,而后才能萌发新枝。所以,一株树苗在一段间隔,例如一年,以后长出一条新枝;第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发;此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则次年“休息”。这样,一株树木各个年份的枝桠数,便构成斐波那契数列。这个规律,就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
    另外,观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣,可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:3、5、8、13、21、……
    其中百合花花瓣数目为3,梅花5瓣,飞燕草8瓣,万寿菊13瓣,向日葵21或34瓣,雏菊有34,55和89三个数目的花瓣。
    斐波那契螺旋:具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的的头部
    这些植物懂得斐波那契数列吗?应该并非如此,它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”,它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当,不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此,对于许多植物来说,每片叶子从中轴附近生长出来,为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间(要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来,而不是一下子同时出现的),每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度,这个角度称为“黄金角度”,因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数,而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89,甚至144条。1992年,两位法国科学家通过对花瓣形成过程的计算机仿真实验,证实了在系统保持最低能量的状态下,花朵会以斐波那契数列长出花瓣。[2]

    数字谜题

    三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系:
    现有长为144cm的铁丝,要截成n小段(n>2),每段的长度不小于1cm,如果其中任意三小段都不能拼成三角形,则n的最大值为多少?
    分析:由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边,因此不构成三角形的条件就是存在两边之和不超过另一边。截成的铁丝最小为1,因此可以放2个1,第三条线段就是2(为了使得n最大,因此要使剩下来的铁丝尽可能长,因此每一条线段总是前面的相邻2段之和),依次为:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55,以上各数之和为143,与144相差1,因此可以取最后一段为56,这时n达到最大为10。
    我们看到,“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用,正是这个最小数1产生了斐波那契数列,如果把1换成其他数,递推关系保留了,但这个数列消失了。这里,三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。
    在这个问题中,144>143,这个143是斐波那契数列的前n项和,我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去,如果加到其他数上,就有3条线段可以构成三角形了。
    影视作品中的斐波那契数列
    斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知,于是在电影这种通俗艺术中也时常出现,比如在风靡一时的《达芬奇密码》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现,在《魔法玩具城》里又是在店主招聘会计时随口问的问题。可见此数列就像黄金分割一样流行。可是虽说叫得上名,多数人也就背过前几个数,并没有深入理解研究。在电视剧中也出现斐波那契数列,比如:日剧《考试之神》第五回,义嗣做全国模拟考试题中的最后一道数学题~在FOX热播美剧《Fringe》中更是无数次引用,甚至作为全剧宣传海报的设计元素之一。

    推广 编辑

    斐波那契—卢卡斯数列
    卢卡斯数列1、3、4、7、11、18…,也具有斐波那契数列同样的性质。(我们可称之为斐波那契—卢卡斯递推:从第三项开始,每一项都等于前两项之和f(n) = f(n-1)+ f(n-2)。
    卢卡斯数列的通项公式为 f(n)=[(1+√5)/2]^n+[(1-√5)/2]^n
    这两个数列还有一种特殊的联系(如下表所示),F(n)*L(n)=F(2n),及L(n)=F(n-1)+F(n+1)
    n
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    斐波那契数列F(n)
    1
    1
    2
    3
    5
    8
    13
    21
    34
    55
    卢卡斯数列L(n)
    1
    3
    4
    7
    11
    18
    29
    47
    76
    123
    F(n)*L(n)
    1
    3
    8
    21
    55
    144
    377
    987
    2584
    6765
    类似的数列还有无限多个,我们称之为斐波那契—卢卡斯数列
    如1,4,5,9,14,23…,因为1,4开头,可记作F[1,4],斐波那契数列就是F[1,1],卢卡斯数列就是F[1,3],斐波那契—卢卡斯数列就是F[a,b]。
    斐波那契—卢卡斯数列之间的广泛联系
    ①任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。
    如:F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n,F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1),
    n
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    F[1,4]n
    1
    4
    5
    9
    14
    23
    37
    60
    97
    157
    F[1,3]n
    1
    3
    4
    7
    11
    18
    29
    47
    76
    123
    F[1,4]n-F[1,3]n
    0
    1
    1
    2
    3
    5
    8
    13
    21
    34
    F[1,4]n+F[1,3]n
    2
    7
    9
    16
    25
    41
    66
    107
    173
    280
    ②任何一个斐波那契—卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得,如
    n
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    F[1,1](n)
    1
    1
    2
    3
    5
    8
    13
    21
    34
    55
    F[1,1](n-1)
    0
    1
    1
    2
    3
    5
    8
    13
    21
    34
    F[1,1](n-1)
    0
    1
    1
    2
    3
    5
    8
    13
    21
    34
    F[1,3]n
    1
    3
    4
    7
    11
    18
    29
    47
    76
    123
    黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列
    斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质:中间项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值,
    斐波那契数列:|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1
    卢卡斯数列:|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5
    F[1,4]数列:|4*4-1*5|=11
    F[2,5]数列:|5*5-2*7|=11
    F[2,7]数列:|7*7-2*9|=31
    斐波那契数列这个值是1最小,也就是前后项之比接近黄金比例最快,我们称为黄金特征,黄金特征1的数列只有斐波那契数列,是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5,也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。
    而F[1,4]与F[2,5]的黄金特征都是11,是孪生数列。F[2,7]也有孪生数列:F[3,8]。其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是孪生数列,称为孪生斐波那契—卢卡斯数列。
    广义斐波那契数列
    斐波那契数列的黄金特征1,还让我们联想到佩尔数列:1,2,5,12,29,…,也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1(该类数列的这种特征值称为勾股特征)。
    佩尔数列Pn的递推规则:P1=1,P2=2,Pn=P(n-2)+2P(n-1).
    据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则:f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q,称为广义斐波那契数列。
    当p=1,q=1时,我们得到斐波那契—卢卡斯数列。
    当p=1,q=2时,我们得到佩尔—勾股弦数(跟边长为整数的直角三角形有关的数列集合)。
    当p=2,q=-1时,我们得到等差数列。其中f1=1,f2=2时,我们得到自然数列1,2,3,4…。自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1(等差数列的这种差值称为自然特征)。
    具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义——斐波那契数列p=±1。
    当f1=1,f2=2,p=2,q=0时,我们得到等比数列1,2,4,8,16……

    相关数学 编辑

    排列组合

    有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?
    这就是一个斐波那契数列:登上第一级台阶有一种登法;登上两级台阶,有两种登法;登上三级台阶,有三种登法;登上四级台阶,有五种登法……
    1,2,3,5,8,13……所以,登上十级,有89种走法。
    类似的,一枚均匀的硬币掷10次,问不连续出现正面的可能情形有多少种?
    答案是(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2) - [(1-√5)/2]^(10+2)}=144种。
    求递推数列a⑴=1,a(n+1)=1+1/a(n)的通项公式
    数学归纳法可以得到:a(n)=F(n+1)/F(n),将斐波那契数列的通项式代入,化简就得结果。

    兔子繁殖问题

    斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”。
    一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子?
    我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下:
    第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对
    两个月后,生下一对小兔对数共有两对
    三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对
    ------
    依次类推可以列出下表:
    经过月数
    0
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    幼仔对数
    1
    0
    1
    1
    2
    3
    5
    8
    13
    21
    34
    55
    89
    成兔对数
    0
    1
    1
    2
    3
    5
    8
    13
    21
    34
    55
    89
    144
    总体对数
    1
    1
    2
    3
    5
    8
    13
    21
    34
    55
    89
    144
    233
    幼仔对数=前月成兔对数
    成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数
    总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
    可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点,那是:前面相邻两项之和,构成了后一项。
    这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的,这个级数的通项公式,除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外,还可以证明通项公式为:an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}(n=1,2,3.....)

    数列与矩阵

    对于斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13、……。有如下定义
    F(n)=f(n-1)+f(n-2)
    F(1)=1
    F(2)=1
    对于以下矩阵乘法
    F(n+1) = 11 F(n)
    F(n) 10 F(n-1)
    它的运算就是右边的矩阵 11乘以矩阵 F(n) 得到:
    10 F(n-1)
    F(n+1)=F(n)+F(n-1)
    F(n)=F(n)
    可见该矩阵的乘法完全符合斐波那契数列的定义
    设矩阵A=1 1 迭代n次可以得到:F(n+1) =A^(n) * F(1)= A^(n)*1
    1 0 F(n) F(0) 0
    这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义。
    另矩阵乘法的一个运算法则A^n(n为偶数) = A^(n/2)* A^(n/2),这样我们通过二分的思想,可以实现对数复杂度的矩阵相乘。
    因此可以用递归的方法求得答案。
    数列值的另一种求法
    F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]
    其中[ x ]表示取距离 x 最近的整数。

    斐波那契弧线 编辑

    斐波那契弧线,也称为斐波那契扇形线。第一,此趋势线以二个端点为准而画出,例如,最低点反向到最高点线上的两个点。然后通过第二点画出一条“无形的(看不见的)”垂直线。然后,从第一个点画出第三条趋势线:38.2%, 50%和61.8%的无形垂直线交叉。
    斐波纳契弧线,是潜在的支持点和阻力点水平价格。斐波纳契弧线和斐波纳契扇形线常常在图表里同时绘画出。支持点和阻力点就是由这些线的交汇点得出。
    要注意的是弧线的交叉点和价格曲线会根据图表数值范围而改变,因为弧线是圆周的一部分,它的形成总是一样的。
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